数论中的一些常用结论
$\sigma(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\epsilon((i,j))$
证明
考虑每个质数的影响
对于质数$p$，假设$p^s \mid n,p^{s+1}\nmid n$，$p^t\mid m,p^{t+1}\nmid m$
那么对于等式左边，$nm$的因数中$p$的次数可以为$0,1,2,…,s+t$，有$s+t+1$种
对于等式右边，即对于$i,j$分别为$n,m$的因数，且$(i,j)=1$，那么$i,j$中$p$的次数只能是$(0,0)$、$(1,0),(2,0),…(s,0)$、$(0,1),(0,2),…(0,t)$，共$s+t+1$种
所以对于每个质数$p$，对等式两边的贡献都是一样的，所以等式成立