概念
样本空间：一个随机试验的所有可能结果组成的集合，标记为$S$
事件：$S$的一个子集$A$，$A\subseteq \Omega$，称为事件
概率公理
$0\leq P(A)\leq 1$
$P(\Omega)=1$
如果$A_1A_2A_3\cdots$是一系列两两无关的事件，即对于任何$i,j,i\neq j,A_i\cap A_j=\phi$，则
$$P\lgroup \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \rgroup=\sum_{k=1}^{\infty}P(A_k)$$
条件概率
令$B$为一个事件满足$P(B)>0$，对于任意事件$A$，定义$A$的关于$B$的条件概率。
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
独立
如果$A,B$满足$P(A\cap B)=P(A)P(B)$，称$A,B$独立。
并且可以推出$P(A)=P(A|B)$
性质
概率的加法公式
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
并的界
$$P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$$
全概率公式
设$B_1B_2B_3\cdots B_n$是样本空间$S$中互不相交的一系列事件，并且满足$S=\bigcup_{k=1}^n B_k$，那么对于任意事件$A$
$$P(A)=\sum_{k=1}^nP(A|B_k)P(B_k)$$
平均值
均值
$$\sum_{x\in X(\Omega)}x\cdot Pr(X=x)$$
也就是期望值
中位数
满足
$$Pr(X\leq x) \geq \frac{1}{2}且Pr(X\geq x) \geq \frac{1}{2}$$
的所有$x\in X(\Omega)$组成的集合
众数
满足
$$Pr(X = x) \geq Pr(X=x^{‘}), \forall x^{‘}\in X(\Omega)$$
的所有$x\in X(\Omega)$组成的集合
期望
$$EX=\sum_{\omega \in \Omega}X(\omega)Pr(\omega)$$
性质
$$E(X+Y)=\sum_{\omega \in \Omega}(X(\omega)+Y(\omega))Pr(\omega)=EX+EY$$
$$E(\alpha X)=\alpha EX$$
$$E(XY)=(EX)(EY),如果X和Y是独立的$$
方差
$$VX=E((X-EX)^2)$$
标准差
$$\sigma=\sqrt{VX}$$
性质
因为$(EX)$是常数，
$$
\begin{array}{l}
VX\
=E((X-EX)^2)\
=E(X^2-2X(EX)+(EX)^2)\
=E(X^2)-2(EX)(EX)+(EX)^2\
=E(X^2)-(EX)^2
\end{array}
$$
当$X$和$Y$为独立的随机变量时，
$$
\begin{array}{l}
V(X+Y)\
=E((X+Y)^2)-(EX+EY)^2\
=E(X^2)+2(EX)(EY)+E(Y^2)-(EX)^2-2(EX)(EY)-(EY)^2\
=E(X^2)-(EX)^2+E(Y^2)-(EY)^2\
=VX+VY
\end{array}
$$
整数概率公式
$$E(x)=\sum_{i=1}^{\infty}P(x\geq i)$$
正整数随机变量的期望等于其分别大于等于所有数的概率之和
证明
$$E(x)=\sum_{i=1}^{\infty}iP(x=i)=\sum_{i=1}^{\infty}i[P(x\geq i)-P(x\geq i+1)]=\sum_{i=1}^{\infty}P(x\geq i)$$