跳进了这个坑。。。于是就开始自闭了。

还有许许多多关于二项式系数的东西没有写，以后会补的(?)

二项式系数

$$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

严格一点的定义：

$$
\binom{n}{m}=\begin{cases}
\frac{n!}{m!(n-m)!} & 整数m\geq 0\
0 & 整数m<0
\end{cases}
$$

为什么要叫二项式系数呢？

因为有一个二项式定理。。

二项式定理：
设$n$是正整数。对所有的$x$和$y$，有
$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$$

推广

多项式系数（应该是叫这个吧。。）

$$\binom{n}{n_1\;n_2\cdots n_t}=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_t!}$$

同样，有一个多项式定理：

多项式定理：
$$(x_1+x_2+\cdots+x_t)^n=\sum\binom{n}{n_1\;n_2\cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}$$

对实数的推广

$$
\binom{r}{k}=\begin{cases}
\frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k(k-1)\cdots(1)} & 整数k\geq 0 \
0 & 整数k<0
\end{cases}
$$

因此有了牛顿二项式定理。。

牛顿二项式定理：
设$\alpha$是实数。对于所有满足$0\leq |x| < |y|$的$x$和$y$，有
$$(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^ky^{\alpha - k}$$

证明去看微积分因为我忘了

若设$z=x/y$，其中$|z|<1$那么

$$(1+z)^{\alpha}=\frac{(x+y)^{\alpha}}{y^{\alpha}}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}z^k$$

然后就又出现了一个罪恶的东西：生成函数。。。这里不再展开，以后会另写一篇的（真的不会鸽了吗？）

二项式系数的一些性质

在这里规定一下这一段中$r$是实数，$n,m,k$是整数

帕斯卡三角形：

通过帕斯卡三角形可以发现对称性。证明也十分显然，用定义即可：

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}, n\geq 0$$

下面还有一些重要的恒等式：

$$\binom{r}{k}=\frac{r}{k}\binom{r - 1}{k - 1}，k\neq 0$$

$$k\binom{r}{k}=r\binom{r - 1}{k - 1}$$

$$(r-k)\binom{r}{k}=r\binom{r - 1}{k}$$

加法公式:

$$\binom{r}{k}=\binom{r - 1}{k}+\binom{r - 1}{k - 1}$$

现在是两个特殊的对二项式系数的求和公式

$$
\begin{aligned}
\sum_{k\leq n}\binom{r+k}{k} & = \binom{r}{0}+\binom{r+1}{1}+\cdots+\binom{r+n}{n} \
&=\binom{r+n+1}{n}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\sum_{0\leq k\leq n}\binom{k}{m}&=\binom{0}{m}+\binom{1}{m}+\cdots+\binom{n}{m}\
&=\binom{n+1}{m+1},m,n\geq 0
\end{aligned}
$$

对于这两个公式的感性理解，假如其中的数字都是整数的话。

那么可以发现在帕斯卡三角形上都是一个特殊的排列位置。

只要加一个$0$，运用加法公式，那些位置就像多米诺骨牌那样，咕噜咕噜。。。很好理解对吧。。。

二项式定理告诉我们：

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$$

把$x=y=1$代入，就有：

$$2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$$

把$x=1,y=-1$代入，就有：

$$0=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}$$

现在对

$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k$$

求导，就变成了：

$$n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}x^{k-1}$$

如果把$x=1$代入，就会发现：

$$1\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+\cdots+n\binom{n}{n}=n2^{n-1}$$

上面这个式子其实也可以用$k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$推导出来

$$\binom{n_1+n_2}{m}=\sum_{k=0}^{m}\binom{n_1}{k}\binom{n_2}{m-k}$$

这个证明非常显然，就不写了

$$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}$$

这个恒等式的证明如下：

$$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\binom{2n}{n}$$

最后一步利用了前面那个等式