结论
设是任意一个具有如下性质且在一个实数区间连续的单调递增函数且
f(x)=整数\to x=整数
只要f(x),f(\lfloor x \rfloor), f(\lceil x \rceil)有定义,那么就有
f(\lfloor x \rfloor)=\lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor 和 f(\lceil x \rceil)=\lceil f(\lceil x \rceil) \rceil
证明
此处证明底函数的情况,顶函数类似
若x为整数,那么结论显然成立
否则,x不为整数,那么就有\lfloor x \rfloor<x<\lceil x\rceil,那么f(\lfloor x\rfloor)<f(x)
也就是说\lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor \leq \lfloor f(x)\rfloor
若\lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor < \lfloor f(x)\rfloor,那么f(\lfloor x\rfloor)<\lfloor f(x)\rfloor\leq f(x)
那么就存在一个y使得\lfloor x\rfloor<y\leq x且f(y)=\lfloor f(x)\rfloor
由函数的性质可知y是一个整数。又因为x不是整数,因此x< \lceil x\rceil,所以\lfloor x\rfloor < y < \lceil x\rceil,但是不存在这样的整数。因此\lfloor f(x)\rfloor = \lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor
推论\alpha
如果m是整数且n是正整数,那么
\lfloor \frac{x+m}{n}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor+m}{n}\rfloor和\lceil \frac{x+m}{n}\rceil=\lceil\frac{\lceil x\rceil+m}{n}\rceil
利用上面的结论证明显然
推论\beta
如果y,z是正整数,那么
\lfloor\frac{\frac{x}{y}}{z}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor\frac{x}{y}\rfloor}{z}\rfloor和\lceil\frac{\frac{x}{y}}{z}\rceil=\lceil\frac{\lceil\frac{x}{y}\rceil}{z}\rceil
利用推论\alpha证明显然
参考资料
- 《具体数学(中文第二版)》3.2节