结论

设$f(x)$是任意一个具有如下性质且在一个实数区间连续的单调递增函数且

$$f(x)=整数\to x=整数$$

只要$f(x),f(\lfloor x \rfloor), f(\lceil x \rceil)$有定义，那么就有

$$f(\lfloor x \rfloor)=\lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor 和 f(\lceil x \rceil)=\lceil f(\lceil x \rceil) \rceil$$

证明

此处证明底函数的情况，顶函数类似

若$x$为整数，那么结论显然成立

否则，$x$不为整数，那么就有$\lfloor x \rfloor<x<\lceil x\rceil$，那么$f(\lfloor x\rfloor)<f(x)$

也就是说$\lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor \leq \lfloor f(x)\rfloor$

若$\lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor < \lfloor f(x)\rfloor$，那么$f(\lfloor x\rfloor)<\lfloor f(x)\rfloor\leq f(x)$

那么就存在一个$y$使得$\lfloor x\rfloor<y\leq x$且$f(y)=\lfloor f(x)\rfloor$

由函数的性质可知$y$是一个整数。又因为$x$不是整数，因此$x< \lceil x\rceil$，所以$\lfloor x\rfloor < y < \lceil x\rceil$，但是不存在这样的整数。因此$\lfloor f(x)\rfloor = \lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor$

推论$\alpha$

如果$m$是整数且$n$是正整数，那么

$$\lfloor \frac{x+m}{n}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor+m}{n}\rfloor和\lceil \frac{x+m}{n}\rceil=\lceil\frac{\lceil x\rceil+m}{n}\rceil$$

利用上面的结论证明显然

推论$\beta$

如果$y,z$是正整数，那么

$$\lfloor\frac{\frac{x}{y}}{z}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor\frac{x}{y}\rfloor}{z}\rfloor和\lceil\frac{\frac{x}{y}}{z}\rceil=\lceil\frac{\lceil\frac{x}{y}\rceil}{z}\rceil$$

利用推论$\alpha$证明显然

参考资料

1. 《具体数学（中文第二版）》3.2节