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一个关于整值函数的结论

结论

是任意一个具有如下性质且在一个实数区间连续的单调递增函数且

f(x)=整数\to x=整数

只要f(x),f(\lfloor x \rfloor), f(\lceil x \rceil)有定义,那么就有

f(\lfloor x \rfloor)=\lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor 和 f(\lceil x \rceil)=\lceil f(\lceil x \rceil) \rceil

证明

此处证明底函数的情况,顶函数类似

x为整数,那么结论显然成立

否则,x不为整数,那么就有\lfloor x \rfloor<x<\lceil x\rceil,那么f(\lfloor x\rfloor)<f(x)

也就是说\lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor \leq \lfloor f(x)\rfloor

\lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor < \lfloor f(x)\rfloor,那么f(\lfloor x\rfloor)<\lfloor f(x)\rfloor\leq f(x)

那么就存在一个y使得\lfloor x\rfloor<y\leq xf(y)=\lfloor f(x)\rfloor

由函数的性质可知y是一个整数。又因为x不是整数,因此x< \lceil x\rceil,所以\lfloor x\rfloor < y < \lceil x\rceil,但是不存在这样的整数。因此\lfloor f(x)\rfloor = \lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor

推论\alpha

如果m是整数且n是正整数,那么

\lfloor \frac{x+m}{n}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor+m}{n}\rfloor和\lceil \frac{x+m}{n}\rceil=\lceil\frac{\lceil x\rceil+m}{n}\rceil

利用上面的结论证明显然

推论\beta

如果y,z是正整数,那么

\lfloor\frac{\frac{x}{y}}{z}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor\frac{x}{y}\rfloor}{z}\rfloor和\lceil\frac{\frac{x}{y}}{z}\rceil=\lceil\frac{\lceil\frac{x}{y}\rceil}{z}\rceil

利用推论\alpha证明显然

参考资料

  1. 《具体数学(中文第二版)》3.2节
# 数学
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