表达式

容斥原理

$$ | A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n | = \sum^n_{i=1}|A_i|- \sum_{1 \leq i < j \leq n}|A_i \cap A_j|+\ \sum_{1 \leq i < j < k \leq n}|A_i \cap A_j \cap A_k| - \cdots +(-1)^{n-1}|A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| $$

逐步淘汰原理（筛法公式）

$$ | \complement_S A_1 \cap \complement_S A_2 \cap \cdots \cap \complement_S A_n| = |S|-\sum^n_{i=1}|A_i|+ \sum_{1 \leq i < j \leq n}|A_i \cap A_j|-\ \sum_{1 \leq i < j < k \leq n}|A_i \cap A_j \cap A_k| + \cdots +(-1)^n|A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| $$

容斥原理与求和及差分

以二维求和为例
$$ \sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}x_{i,j}=\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}x_{i,j}[i\neq n \lor j\neq m]+x_{n,m} \ = \sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}x_{i,j}[i\neq n]+\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}x_{i,j}[j\neq m] -\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}x_{i,j}[i\neq n \land j\neq m]+x_{i,j} $$